哥德尔第一(哥德尔定理证明 原文)

哥德尔第一

我们最后一个邪恶的把戏,是把蒯因的准妙语本身作为一个名词放在它的开头。如此一来,蒯因的准妙语前面,便加上了一个放在引号中的自己的复制品:

那么F(x)本身包含多少个字符?注意10包含11个字符(在一般的系统中,数字都是根据0生成,不可能把每个自然数都加入基本字符),k包含k+1个字符,A(x,y)的符号数为k,从而F(x)的字符数量为2k+24(y是

(意味者L能够证明的都是真句子,L能够否证的都是假句子),而且它包含自然数的定义,那么存在一个句子,这个句子是真的并且在L中不可证明。

当然,这种搜索对于人来说不是容易的,一般是通过构造。在哥德尔给出定理的时候,真句子还没被很好的定义,所以哥德尔是凭人类直觉说明真句子代表什么(哥德尔给出了一个

哥德尔定理证明 原文

递归运算,哥德尔构造了哥德尔β函数,说明这个函数是可表达的,再进一步证明递归运算可以被表达,这是纯粹构造的问题,故略去。

注意,虽然这里只是说这个编码,但是可以证明,如果一个公式是可证的(可以被推导),那么对于它的编码有这种关系。

如果符号本身是可数的,那么符号串是可数的,对于每个符号串自然可以产生(自然数表示的)编码。这个编码反映了系统自身。

,它的值为,对哥德尔数为n的公式中,用哥德尔数为p的变元代替哥德尔数为q的变元,得到的公式的哥德尔数。同样根据

哥斯德摩尔

可数和不可数使用来刻画集合大小的。可数被理解为一步步产生,一个个计数。可数的特征是,虽然从某些角度数数是不能在有限步遍历任意的元素,但是总是能找到一个方法在有限步内数到。回想一下数数的过程:第一个,第二个,,以致无穷。

比方说‘小于’、‘等于’关系,这应当可以被形式化系统表达。对于一个完善的形式化算术而言,零函数(这是一个元函数)

的自然数n形成一个新的集合B,这是通过条件来生成集合,直观上看,可以通过一个个验证来判断B的元素,比如1属不属于

哥德尔到底是如何把一个公式的哥德尔配数纳入这个公式本身的?它看起来就像要努力把一头大象塞进一个火柴盒里——而且从某种意义上来说就是这样。没有任何公式能够在字面意义上包含与它自己的哥德尔配数对应的数词,因为这个数词含有比这个公式多得多的符号!